Definite Integration
Integrals with Periodic Functions
Grade 12
Question:
<p>If <i>f</i>(<i>x</i>) = ∫₀^<i>x</i> (sin⁴ <i>t</i> + cos⁴ <i>t</i>) <i>d</i><i>t</i>, then <i>f</i>(<i>x</i> + π) will be equal to:</p>
<p>(a) <i>f</i>(<i>x</i>) + <i>f</i>(π/2)</p>
<p>(b) <i>f</i>(<i>x</i>) + <i>f</i>(π) or <i>f</i>(<i>x</i>) + 2<i>f</i>(π/2)</p>
<p>(c) <i>f</i>(<i>x</i>) − <i>f</i>(π)</p>
<p>(d) <i>f</i>(<i>x</i>) − 2<i>f</i>(π/2)</p>
Step-by-Step Solution
Key Concept: Utilize periodicity of trigonometric functions and additive property of definite integrals.
<p>Use the property that ∫₀^(x+π) g(<i>t</i>) <i>d</i><i>t</i> = ∫₀^<i>x</i> g(<i>t</i>) <i>d</i><i>t</i> + ∫ₓ^(x+π) g(<i>t</i>) <i>d</i><i>t</i>. For the integrand sin⁴ <i>t</i> + cos⁴ <i>t</i>, use the periodicity property.</p>
Correct Answer: B